问题
解答题
已知双曲线C的渐近线方程为y=±
（1）求双曲线C的方程； （2）过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：
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答案
（1）设双曲线方程为3x2-y2=λ（λ＞0）…（2分）
由题知c=2，∴
+λ=4，∴λ=3…（4分）λ 3
∴双曲线方程为：x2-
=1…（5分）y2 3
（2）设直线l的方程为y=k（x-2）代入x2-
=1y2 3
整理得（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点P（x0，y0）
则x0=-
，代入l得：y0=2k2 3-k2
…（7分）-6k 3-k2
|AB|=
|x1-x2|=…=1+k2
…（8分）6(k2+1) |3-k2|
AB的垂直平分线方程为y=-
(x+1 k
)-2k2 3-k2
…（9分）6k 3-k2
令y=0得xD=
…（10分）-8k2 3-k2
∴|FD|=|
-2|=|-8k2 3-k2
|=-6(1+k2) 3-k2
…（11分）6(1+k2) |3-k2|
∴
=1为定值．…（12分）|AB| |FD|