已知椭圆C的中心为原点,点F(1,0)是它的一个焦点,直线l过点F与椭圆C交于A,B两点,且当直线l垂直于x轴时,OA•OB=
(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)是否存在直线l,使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P,满足△ABP为正三角形.如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由. |
(Ⅰ)设椭圆C的方程为:
+x2 a2
=1(a>b>0),则a2-b2=1.①y2 b2
∵当l垂直于x轴时,A,B两点坐标分别是(1,
)和(1,-b2 a
),b2 a
∴
•OA
=(1,OB
)•(1,-b2 a
)=1-b2 a
,则1-b4 a2
=b4 a2
,即a2=6b4.②5 6
由①,②消去a,得6b4-b2-1=0.∴b2=
或b2=-1 2
.1 3
当b2=
时,a2=1 2
.因此,椭圆C的方程为3 2
+2y2=1.2x2 3
(Ⅱ)设存在满足条件的直线l.
(1)当直线l垂直于x轴时,由(Ⅰ)的解答可知|AB|=
=2b2 a
,焦点F到右准线的距离为d=6 3
-c=a2 c
,1 2
此时不满足d=
|AB|.3 2
因此,当直线l垂直于x轴时不满足条件.
(2)当直线l不垂直于x轴时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1).
由
⇒(6k2+2)x2-12k2x+6k2-3=0,y=k(x-1)
+2y2=12x2 3
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=6k2 3k2+1
.6k2-3 6k2+2
|AB|=
|x1-x2|=1+k2
=(1+k2)[(x1+x2) 2-4x1x2]
=-(1+k2)[(
)2-4(6k2 3k2+1
)] 6k2-3 6k2+2
.
(k2+1)6 3k2+1
又设AB的中点为M,则xM=
=x1+x2 2
.3k2 3k2+1
当△ABP为正三角形时,直线MP的斜率为kMP=-
.1 k
∵xp=
,∴|MP|=3 2
|xp-xM|=1+ 1 k2
•(1+ 1 k2
-3 2
)=3k2 3k2+1
•1+k2 k2
.3(k2+1) 2(3k2+1)
当△ABP为正三角形时,|MP|=
|AB|,即3 2
•1+k2 k2
=3(k2+1) 2(3k2+1)
•3 2
,
(k2+1)6 3k2+1
解得k2=1,k=±1.
因此,满足条件的直线l存在,且直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.