问题
解答题
已知椭圆C1：
（1）求椭圆C1的方程； （2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1． ①当直线BD过点（0，
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值． |
答案
（1）设M（x1，y1）∵F2(1，0)|MF2| =
．5 3
由抛物线定义，x1+1=
，∴x1=5 3
∵2 3
=4x1，∴y1=y 21
．2 6 3
∴M(
，2 3
)∵M在c1上，2 6 3
+4 9a2
=1，又b2=a2-18 3b2
∴9a4-37a2+4=0∴a2=4或a2=
＜c2舍去．1 9
∴a2=4，b2=3
∴椭圆c1的方程为
+x2 4
=1．y2 3
（2）①直线BD的方程为y=x+1 7
∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC为y=-x+m，
由
，得7x2-8mx+4m2-12=0
+x2 4
=1y2 3 y=-x+m
∵A，C、在椭圆C1上，∴△＞0解得(-
，＜m＜7
)，7
设A（x1，y1），c（x2，y2），
则x1+x2=
，x1x2=8m 7
，4m2-12 7
y1 =-x1+m2y2=-x2+m2∴y1+y2=
，AC的中点坐标为(6m 7
，4m 7
)．3m 7
由ABCD为菱形可知，点(
，4m 7
)在直线y=x+3m 7
上，1 7
∴
=3m 7
+4m 7
，m=-1∈(-1 7
，7
)．7
∴直线AC的方程为y=-x-1
即x+y+1=0．
②∵ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
∴|AB|=|BC|=|CA|，
∴菱形ABCD的面积
S=
|AC|2=3 2
[(x1-x2)2+(y1-y2)2]3 2
•2[(x1+x2)2-4x1x2]3 2
(3
-464m2 49
)4m2-12 7
=
(7-m2 )，(-48 3 49
，＜m＜7
)．7
∴当m=0时，菱形ABCD的面积取得最大值
．48 3 7