过定点A（-1，1）是否存在直线l，使得点A恰为直线l与椭圆x2+3y2=9相交

问题解答题

过定点A（-1，1）是否存在直线l，使得点A恰为直线l与椭圆x²+3y²=9相交所得的线段的中点，若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案

设过A点的直线交椭圆于B、C两点，B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）

则有x₁²+3y₁²=9，x₂²+3y₂²=9，（3分）

两式相减得：（x₁+x₂）（ x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（ y₁-y₂）=0（6分）

因为A点是线段BC的中点，所以x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2 （8分）

代入得：k_BC=

y1-y2

x1-x2

（10分）

所以l的方程为y=

（x+1）+1（11分）

检验知：x-3 y+4=0为所求的方程．（12分）