问题
解答题
已知函数f（x）=x2-ax+4+2lnx
（I）当a=5时，求f（x）的单调递减函数；
（Ⅱ）设直线l是曲线y=f（x）的切线，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率时切线l的方程；
（Ⅲ）若f（x）分别在x1、x2（x1≠x2）处取得极值，求证：f（x1）+f（x2）＜2．
答案
（I）因为函数的定义域为{x|x＞0}，
当a=5时，f（x）=x2-5x+4+2lnx，f′(x)=2x-5+
=2 x
=2x2-5x+2 x
，2(x-
)(x-2)1 2 x
所以由f'（x）＜0，解得
＜x＜2，1 2
即函数的单调递减区间为（
，2）．1 2
（Ⅱ）因为x＞0，所以f′(x)=2x+
-a≥22 x
-a=4-a，4
当且仅当x=1时取等号．因为直线l的斜率存在最小值-2，
所以4-a=-2，即a=6．
当l取得最小斜率时，因为f（-1）=-1，即切点为（1，-1）．
从而切线方程l：y+1=-2（x-1），即：2x+y-1=0．
（Ⅲ）f′(x)=2x+
-a=2 x
，2x2-ax+2 x
因为f（x）分别在x1、x2（x1≠x2）处取得极值，
所以x1、x2（x1≠x2）是方程
=0，2x2-ax+2 x
即2x2-ax+2=0的两个不等正根．
则△=a2-16＞0解得a2＞16，且x1+x2=
，x1x2=1．a 2
从而f（x1）+f（x2）=
+x 21
-a(x1+x2)+8+2ln(x1x2)x 22
=(x1+x2)2-2x1x2-a(x1+x2)+8+2ln(x1x2)
=(
)2-2×1-a×a 2
+8+2ln1=-a 2
+6，a2 4
因为a2＞16，所以-
+6＜2．a2 4
即不等式f（x1）+f（x2）＜2成立．
