问题 解答题

已知函数f(x)=x2-ax+4+2lnx

(I)当a=5时,求f(x)的单调递减函数;

(Ⅱ)设直线l是曲线y=f(x)的切线,若l的斜率存在最小值-2,求a的值,并求取得最小斜率时切线l的方程;

(Ⅲ)若f(x)分别在x1、x2(x1≠x2)处取得极值,求证:f(x1)+f(x2)<2.

答案

(I)因为函数的定义域为{x|x>0},

当a=5时,f(x)=x2-5x+4+2lnx,f′(x)=2x-5+

2
x
=
2x2-5x+2
x
=
2(x-
1
2
)(x-2)
x

所以由f'(x)<0,解得

1
2
<x<2,

即函数的单调递减区间为(

1
2
,2).

(Ⅱ)因为x>0,所以f′(x)=2x+

2
x
-a≥2
4
-a=4-a,

当且仅当x=1时取等号.因为直线l的斜率存在最小值-2,

所以4-a=-2,即a=6.

当l取得最小斜率时,因为f(-1)=-1,即切点为(1,-1).

从而切线方程l:y+1=-2(x-1),即:2x+y-1=0.

(Ⅲ)f′(x)=2x+

2
x
-a=
2x2-ax+2
x

因为f(x)分别在x1、x2(x1≠x2)处取得极值,

所以x1、x2(x1≠x2)是方程

2x2-ax+2
x
=0,

即2x2-ax+2=0的两个不等正根.

则△=a2-16>0解得a2>16,且x1+x2=

a
2
x1x2=1.

从而f(x1)+f(x2)=

x21
+
x22
-a(x1+x2)+8+2ln⁡(x1x2)

=(x1+x2)2-2x1x2-a(x1+x2)+8+2ln⁡(x1x2)

=(

a
2
)2-2×1-a×
a
2
+8+2ln1=-
a2
4
+6,

因为a2>16,所以-

a2
4
+6<2.

即不等式f(x1)+f(x2)<2成立.

单项选择题
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