已知函数f(x)=x2-ax+4+2lnx
(I)当a=5时,求f(x)的单调递减函数;
(Ⅱ)设直线l是曲线y=f(x)的切线,若l的斜率存在最小值-2,求a的值,并求取得最小斜率时切线l的方程;
(Ⅲ)若f(x)分别在x1、x2(x1≠x2)处取得极值,求证:f(x1)+f(x2)<2.
(I)因为函数的定义域为{x|x>0},
当a=5时,f(x)=x2-5x+4+2lnx,f′(x)=2x-5+
=2 x
=2x2-5x+2 x
,2(x-
)(x-2)1 2 x
所以由f'(x)<0,解得
<x<2,1 2
即函数的单调递减区间为(
,2).1 2
(Ⅱ)因为x>0,所以f′(x)=2x+
-a≥22 x
-a=4-a,4
当且仅当x=1时取等号.因为直线l的斜率存在最小值-2,
所以4-a=-2,即a=6.
当l取得最小斜率时,因为f(-1)=-1,即切点为(1,-1).
从而切线方程l:y+1=-2(x-1),即:2x+y-1=0.
(Ⅲ)f′(x)=2x+
-a=2 x
,2x2-ax+2 x
因为f(x)分别在x1、x2(x1≠x2)处取得极值,
所以x1、x2(x1≠x2)是方程
=0,2x2-ax+2 x
即2x2-ax+2=0的两个不等正根.
则△=a2-16>0解得a2>16,且x1+x2=
,x1x2=1.a 2
从而f(x1)+f(x2)=
+x 21
-a(x1+x2)+8+2ln(x1x2)x 22
=(x1+x2)2-2x1x2-a(x1+x2)+8+2ln(x1x2)
=(
)2-2×1-a×a 2
+8+2ln1=-a 2
+6,a2 4
因为a2>16,所以-
+6<2.a2 4
即不等式f(x1)+f(x2)<2成立.