已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其

问题解答题

已知椭圆C：

=1 (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，其右焦点F₂与抛物线y2=4

x的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的中心作一条直线与其相交于P，Q两点，当四边形PF₁QF₂面积最大时，求

PF1

•

PF2

的值．

答案

（1）由题，抛物线的焦点坐标为(

，0)，故c=

…（2分）

又因为短轴的两个端点与F₂构成正三角形，所以a=2b，又a²=b²+c²得a=2，b=1

所以椭圆的方程为

+y2=1…（7分）

（2）设P点坐标为（x₀，y₀），由椭圆的对称性知，S四边形PF1QF2=S△PF1F2+S△QF1F2=2S△PF1F2=2×

×F1F2×|yP|

当四边形PF₁QF₂面积最大时，P，Q两点分别位于短轴两个端点，

由对称性不妨设P（0，1）…（10分）

又F1(-

，0)，F2(

，0)则

PF1

=(-

，-1)，

PF2

，-1)

所以

PF1

•

PF2

=(-

，-1)•(

，-1)=-3+1=-2…（16分）