问题
解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点．设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，
（I）若λ=1，求直线l的斜率； （II）若点A、B在x轴上的射影分别为A1、B1，且|
|
答案
依题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y0，
则F（
，0），准线方程为x=-p 2
，直线l的方程为y=k（x-p 2
），M（-p 2
，y0），y2＞0p 2
因为
=λMF
，所以（p，-y0）=λ（x2-FB
，y0），故p=λ（x2-p 2
）p 2
（I）若λ=1，由p=λ（x2-
），y22=2px2，y2＞0，得x2=p 2
，y2=3p 2
p，3
故点B的坐标为（
，3p 2
p）3
所以直线l的斜率k=
=
p-03
-3p 2 p 2
（5分）3
（II）联立y2=2px，y=k（x-
），消去y，可得k2x2-（k2p+2p）x+p 2
=0，则x1x2=k2p2 4 p2 4
又x2=
+p λ
（7分）p 2
故x1=
=p2 4x2
（9分）λp 2λ+4
因为|
|，|B1F
|，2|OF
|成等差数列，A1F
所以|
|+2|B1F
|=2|A1F
|，OF
故（x2-
）+2（p 2
-x1）=p，即x2-2x1=p 2 p 2
将x2=
+p λ
，x1=p 2
代入上式得λp 2λ+4
=1 λ λ λ+2
因为λ＞0，所以λ=2． （12分）