（1）由题设知双曲线上焦点为(0，

2

)．

设直线AB的方程为y=kx+

2

，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和-1，

此时mn=1．

当k≠0时，将y=kx+

2

代入双曲线方程，消去x得(1-k2)y2-2

2

y+k2+2=0．（2分）由

1-k2≠0 y1+y2= 2 2 1-k2 ＞0，得k2＜1. y1•y2= k2+2 1-k2 ＞0

（4分）

由双曲线的第二定义，知m=-1+

2

y1，n=-1+

2

y2（8分）

∴mn=1+2y1y2-

2

(y1+y2)=

1+k2

1-k2

=1+

2

1 k2 -1

＞1．

综上，知mn≥1．（10分）

（2）设直线AB的方程为y=kx+

2

，代入双曲线方程，消去y并整理得(k2-1)x2+2

2

kx+1=0．

∴x1+x2=-

2 2 k

k2-1

，x1•x2=-

1

k2-1

．（8分）

令

m

n

=λ，则λ＞1，

∴

n

m

=

x2

-x1

，即x1=-λx2．

∴(1-λ)x2=

2 2 k

1-k2

，①

-λ

x

22

=

1

k2-1

．②

由①②，消去x2，得

(1-λ)2

λ

=

8k2

1-k2

，

即λ+

1

λ

=

8

1-k2

-6③（12分）

由k2∈[

1

9

，

1

5

]，得λ+

1

λ

∈[3，4]，而λ＞0，

∴

λ2-3λ+1≥0 λ2-4λ+1≤0

，解之得

3+ 5

2

≤λ≤2+

3

，即为所求．（14分）