抛物线y2=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，抛物线的焦点为F，AB和CD

问题解答题

抛物线y²=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，抛物线的焦点为F，AB和CD为过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，中点分别为M和N．

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：则直线MN必过定点P，并求出点P的坐标．

答案

（1）由

y=x+1

y2=2px

得，y²-2py+2p=0

∵抛物线y²=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，∴△=0

解得，p=2，∴抛物线的方程为y²=4x

（2）证明：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）

把直线AB：y=k（x-1）代入y²=4x，得

k²x²-（2k²+4）x+k²=0，∴x₃=

x1+x2

=1+

，y₃=k（x₃-1）=

同理可得，x₄=1+2k²，y₄=-2k

∴k_MN=

y3-y4

x3-x4

1-k2

∴直线MN为y-

1-k2

（x-1-

），即y=

1-k2

（x-3），过定点P（3，0）．