设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原

问题解答题

设椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：

-2

-4

（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C₁交于不同两点M、N，且

•

=0，请问是否存在这样的直线l过抛物线C₂的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

答案

（1）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有

=2p(x≠0)，

据此验证5个点知只有（3，-2

）、（4，-4）在统一抛物线上，易求C₂：y²=4x（2分）

设C2：

=(a＞b＞0)，把点（-2，0）（

，

）代入得

2b2

解得

a2=4

b2=1

∴C₂方程为

+y2=1（5分）

（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0）

设其方程为x-1=my，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

由

•

=0．得x₁x₂+y₁y₂=0（*）（7分）

由

x-1=my

+y2=1

消去x，得（m²+4）y²+2my-3=0，△=16m²+48＞0

∴y1+y2=

-2m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

①

x₁x₂=（1+my₁）（1+my₂）=1+m（y₁+y₂）+m²y₁y₂；

=1+m•

-2m

m2+4

+m2•

-3

m2+4

4-4m2

m2+4

②（9分）

将①②代入（*）式，得

4-4m2

m2+4

-3

m2+4

解得m=±

（11分），

∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y-2=0（12分）