（I）设过A（a，0）与抛物线y=x²+1的相切的直线的斜率是k，

则该切线的方程为：y=k（x-a）

由

y=k(x-a) y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0∴△=k²-4（ka+1）=k₂-4ak-4=0

则k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，故k₁k₂=-4

（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）

则-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）∴y₁=2x₁a+2，同理y₂=2x₂a+2

则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）

（Ⅲ）要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离d=

2a2+2

4a2+1

=

1

2

(

4a2+1+3

4a2+1

)=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

当且仅当

4a2+1

=

3

4a2+1

即a2=

1

2

时取等号设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

由

y=2xa+2 y=x1+1

得x²-2ax-1=0，则x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1，

AQ

•

AP

=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=（x₁-a）（x₂-a）+（2ax₁+2）（2ax₁+2）

=（1+4a²）x₁x₂+3a（x₁+x₂）+a²+4

=-（1+4a²）+3a•2a+a²+4

=3a²+3

=

9

2