问题 解答题
双曲线中心在原点,一条渐近线方程为y=
2
x
,准线方程为x=-
3
3

(1)求双曲线方程;
(2)若双曲线上存在关于y=kx+1对称的二点,求k范围.
答案

(1)设双曲线方程为x2-

y2
2
=λ(λ>0)

由准线方程知

3
3
=
λ
⇒λ=1

∴双曲线方程为x2-

y2
2
=1

(2)设双曲线上关于y=kx+1对称二点为M(x1,y1)、N(x2,y2),其中点为Q(x0,y0

设MN的方程为y=-

1
k
x+n代入x2-
y2
2
=1

(2-

1
k2
)x2+
2n
k
x-n2-2=0

2-
1
k2
≠0
△=
4n2
k2
+4(2-
1
k2
)(n2+2)>0
n2
1
k2
-2且k≠±
2
2

又Q(x0,y0)在直线y=kx+1

-2nk2
1-2k2
=
nk2
1-2k2
+1

n=

2k2-1
3k2

代入①式得22k4-13k2+1>0

k2

1
2
或 0<k2
1
11
k≠±
2
2

k∈(-∞,-

2
2
)∪(-
11
11
,0)
(0,
11
11
)
(
2
2
,+∞)

单项选择题
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