问题
解答题
双曲线中心在原点,一条渐近线方程为y=
(1)求双曲线方程; (2)若双曲线上存在关于y=kx+1对称的二点,求k范围. |
答案
(1)设双曲线方程为x2-
=λ(λ>0)y2 2
由准线方程知
=3 3
⇒λ=1λ 3λ
∴双曲线方程为x2-
=1y2 2
(2)设双曲线上关于y=kx+1对称二点为M(x1,y1)、N(x2,y2),其中点为Q(x0,y0)
设MN的方程为y=-
x+n代入x2-1 k
=1y2 2
得(2-
)x2+1 k2
x-n2-2=02n k
由
⇒n2>2-
≠01 k2 △=
+4(2-4n2 k2
)(n2+2)>01 k2
-2且k≠±1 k2 2 2
又Q(x0,y0)在直线y=kx+1
∴
=-2nk2 1-2k2
+1nk2 1-2k2
∴n=2k2-1 3k2
代入①式得22k4-13k2+1>0
∴k2>
或 0<k2<1 2
且k≠±1 11 2 2
∴k∈(-∞,-
)∪(-2 2
,0)∪(0,11 11
)∪(11 11
,+∞)2 2