已知点P1（x0，y0）为双曲线
（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程； （2）是否存在过点F2的直线l，使直线l与（1）中轨迹在y轴右侧交于R1、R2两不同点，且满足
（3）设（1）中轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y1≠0），直线QB、QD分别交y轴于M、N点，求证：以MN为直径的圆恒过两个定点． |
（1）设点P的坐标为（x，y），
由题意可知，点A(
，y0)，F2(2b，0)3b 2
所以，直线AF2的方程为y=
(x-2b)，2y0 -b
令x=0，得y=4y0，
即点P2的坐标为（0，4y0）
∴
，可得x= x0 2 y= y0+4y0 2
，x0=2x y0=
y2 5
而点P1（x0，y0）在双曲线上，
所以
-4x2 3b2
=1，4y2 25b2
即线段P1P2的中点P的轨迹E的方程为：
-4x2 3b2
=1…4分4y2 25b2
（2）假设符合题意的直线l存在，显然直线l斜率不为0，而F2（2b，0），
故可设直线l的方程为x=ky+2b，点R1（x3，y3）、R2（x2，y2），
由
⇒(k2-
-4x2 3b2
=14y2 25b2 x=ky+2b
)y2+4kby+3 25
b2=0，13 4
显然，k2-
≠0，3 25
∴
，△＞0 y2+y3= -4kb k2- 3 25 y2y3= 13b2 4(k2-
)3 25
由题可知，y2y3=
＜0，13b2 4(k2-
)3 25
所以k2＜
．3 25
由已知
•OR1
=x2x3+y2y3=(k2+1)y2y3+2kb(y2+y3)+4b2=4b2，OR2
∴
-13b2(k2+1) 4(k2-
)3 25
=0，8k2b2 k2- 3 25
即k2=
与k2＜13 19
矛盾3 25
故不存在符合题意的直线…9分
（3），因为（Ⅰ）中轨迹E的方程为：
-4x2 3b2
=1，4y2 25b2
令y=0，则有x=±
b3 2
不妨设B(-
b，0)，D(3 2
b，0)，3 2
则直线QB的方程为y(x1+
b)=y1(x+3 2
b)，3 2
令x=0，得M(0，
)，
by13 2 x1+
b3 2
直线QD的方程为y(x1-
b)=y1(x-3 2
b)，3 2
令x=0，得N(0，
)，-
by13 2 x1-
b3 2
以MN为直径的圆的方程为x2+(y-
)(y-
by13 2 x1+
b3 2
)=0，-
by13 2 x1-
b3 2
即x2+y2+
y-
b2y13 2 x12-
b23 4
=0，
b2y123 4 x12-
b23 4
点Q（x1，y1）在曲线E上，则有x2-
=3b2 4
，3y12 25
所以，以MN为直径的圆的方程为x2+y2+
y-25b2 2y1
=0，25b2 4
当y=0时，恒有x=±
b，即证以MN为直径的圆恒过两个定点(±5 2
b，0)．…14分5 2