问题
解答题
已知F1（-1，0），F2（1，0）是椭圆
（I）求椭圆方程； （II）若P、M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的不同三点，直线PM、PN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由． |
答案
（I）F2（1，0）关于直线L：x-2y+4=0对称点G（-1，4）
又GF1与l的交点P在椭圆上，
∴2a=|PF1|+|PF2|=|GF1|=4．
∴b2=a2-c2=3．
因此，所求椭圆方程为
+x2 4
=1y2 3
（II）由条件知直线PM，PN的斜率存在且不为0，
易得点P（-1，
），设直线PM的方程为y=k（x+1）+3 2
，3 2
由椭圆方程与直线PM方程联立消去y，
整理得（4k2+3）x2+4k（2k+3）x+4k2+12k-3=0，
∵P在椭圆上，∴方程两根为1，x1，
∴1•x1=-
，x1=-4k2+12k-3 4k2+3
，4k2+12k-3 4k2+3
∵直线PM，PN的倾斜角互补，
∴直线PM，PN的斜率互为相反数，
∴x2= -
．4k2-12k-3 4k2+3
则x1-x2=
，x1+x2=-24k 4k2+3
．6-8k2 4k2+3
又y1=k(x1+1)+
，y2=-k(x2+1)+3 2
，3 2
∴y1-y2=k（x1+x2+2）=
．12k 4k2+3
∴直线MN的斜率KMN=
=-y1-y2 x1-x2
（定值）1 2