问题
解答题
在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0），
（Ⅰ）设bn=an+1-an（n∈N*），证明{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项。
答案
（Ⅰ）证明：由题设
（n≥2），
得
，即
，n≥2，
又
，q≠0，
所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）
，
，
……
，（n≥2），
将以上各式相加，得
（n≥2），
所以当n≥2时，
，
上式对n=1显然成立；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当q=1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1，
由
可得
，
由q≠0得
， ①
整理得
，解得
（舍去），
于是
，
另一方面，
，
，
由①可得
，n∈N*，
所以对任意的n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项。