（1）∵抛物线y²=p（x+1）的准线方程是x=-1-

p

4

∵直线x+y=m与x轴的交点为（m，0）在准线右边

∴m＞-1-

p

4

∴m＞-1-

p

4

，即4m+p+4＞0．

由

y2=p(x+1) x+y=m

得x²-（2m+p）x+（m²-p）=0．

而判别式△=（2m+p）²-4（m²-p）=p（4m+p+4）．

又p＞0及4m+p+4＞0，可知△＞0．

因此，直线与抛物线总有两个交点；                   …（4分）

（2）设Q、R两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），

由（1）知，x₁、x₂是方程x²-（2m+p）x+m²-p=0的两根，

∴x₁+x₂=2m+p，x₁•x₂=m²-p．由OQ⊥OR，得k_OQ•k_OR=-1，

即有x₁x₂+y₁y₂=0．又Q、R为直线x+y=m上的点，

因而y₁=-x₁+m，y₂=-x₂+m．

于是x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=2（m²-p）-m（2m+p）+m²=0，

∴p=f（m）=

m2

m+2

，由

p＞0 4m+4+p＞0

得m＞-2，m≠0；…（9分）

（3）解法一：由于原点O到直线x+y=m的距离不大于

2

2

，于是

|0+0-m|

2

≤

2

2

，

∴|m|≤1．由（2），知m＞-2且m≠0

故m∈[-1，0）∪（0，1]．

由（2），知f（m）=

m2

m+2

=（m+2）+

4

m+2

-4qqqq1q

当m∈[-1，0）时，任取m₁、m₂，0＞m₁＞m₂≥-1，则

f（m₁）-f（m₂）=（m₁-m₂）+（

4

m1+2

-

4

m2+2

）

=（m₁-m₂）[1-

4

(m1+2)(m2+2)

]．

由0＞m₁＞m₂≥-1，知0＜（m₁+2）（m₂+2）＜4，1-

4

(m1+2)(m2+2)

＜0．

又由m₁-m₂＞0知f（m₁）＜f（m₂）因而f（m）为减函数．

可见，当m∈[-1，0）时，p∈（0，1]．

同样可证，当m∈（0，1]时，f（m）为增函数，从而p∈（0，

1

3

]．

解法二：由解法一知，m∈[-1，0）∪（0，1]．由（2）知

p=f（m）=

m2

m+2

=

1

1 m + 2 m2

．

设t=

1

m

，g（t）=t+2t²，则t∈（-∞，-1]∪[1，+∞），

又g（t）=2t²+t=2（t+

1

4

）²-

1

8

．

∴当t∈（-∞，-1]时，g（t）为减函数，g（t）∈[1，+∞）．

当t∈[1，+∞）时，g（t）为增函数，g（t）∈[3，+∞）．

因此，当m∈[-1，0]时，t∈（-∞，-1]，p=

1

g(t)

∈（0，1]；

当m∈（0，1]时，t∈[1，+∞），p∈（0，

1

3

]．