问题
解答题
已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n=1，2，3，…）。
（1）若{an}是等差数列，求其首项a1和公差d；
（2）证明{an}不可能是等比数列；
（3）若a1=-1，求{an}的通项公式以及前n项和公式。
答案
解：（1）因为{an}是等差数列，设其首项为a1，公差为d，
则an=a1+（n-1）d，
于是有a1+nd=2[a1+（n-1）d]+n+1，
整理得a1+nd=（2a1-2d+1）+（2d+1）n，
因此
，
解得a1=-3，d=-1。
（2）证明：假设{an}是等比数列，设其首项为a1，
则a2=2a1+2，a3=2a2+3=4a1+7，
于是有（2a1+2）2=a1（4a1+7），
解得a1=-4，
于是公比q=
，
这时a4=a1q3=（-4）·（
）3=-
但事实上，a4=2a3+4=8a1+18=-14，二者矛盾，
所以{an}不是等比数列。
（3）由an+1=2an+n+1可得an+1+（n+1）+2=2（an+n+2），
所以数列{an+n+2}是一个公比为2的等比数列，其首项为（a1+1+2）=-1+1+2=2，
于是an+n+2=2·2n-1=2n
故an=2n-n-2，
于是{an}的前n项和公式
。