问题
解答题
一束光线从点F1（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．
（1）求P点的坐标；
（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
（1）设F1关于l的对称点为F（m，n），则
=-n m+1
且2•1 2
-m-1 2
+3=0，n 2
解得m=-
，n=9 5
，即F(-2 5
，9 5
)．2 5
由
，解得P(-x+7y-1=0 2x-y+3=0
，4 3
)．1 3
（2）因为PF1=PF，根据椭圆定义，得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2
=
=2(-
-1)2+(9 5
-0)22 5
，所以a=2
．又c=1，2
所以b=1．所以椭圆C的方程为
+y2=1．x2 2
（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），
使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有kQt•kQs=k（k为定值），
即
•y x-s
=k，将y2=1-y x-t
代入并整理得x2 2
(k+
)x2-k(s+t)x+kst-1=0（*）1 2
．由题意，（*）式对任意x∈（-
，2
）恒成立，2
所以
，k+
=01 2 k(x+t)=0 kst-1=0
解之得
或k=- 1 2 s= 2 t=- 2
．k=- 1 2 s=- 2 t= 2
所以有且只有两定点（
，0），（-2
，0），2
使得kQt•kQs为定值-
．1 2