问题
解答题
平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足
（1）求点C的轨迹方程； （2）设点C的轨迹与椭圆
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于
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答案
（1）设C(x，y)，因为
=αOC
+βOA
，则(x，y)=α(1，0)+β(0，-2)OB
∴x=α y=-2β
即点C的轨迹方程为x+y=1 &∵α-2β=1 &∴x+y=1
（2）∴
∴(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0∵a2+b2≠0x+y=1
+x2 a2
=1y2 b2
设M(x1，y1)，N(x2，y2)∴x1+x2=
，x1x2=2a2 a2+b2 a2-a2b2 a2+b2
由题意
•OM
=0∴x1x2+y1y2=0ON
∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2
=1-
+2a2 a2+b2
=0∴a2+b2=2a2b22(a2-a2b2) a2+b2
∴
+1 a2
=2为定值1 b2
（3）∵e≤2 2
， ∴e2=
≤a2-b2 a2 1 2
∵
+1 a2
=2，∴b2=1 b2 a2 2a2-1
∴1-
≤1 2a2-1
，即1 2
≥1 2a2-1
，1 2
∴
＜a≤2 2
，从而6 2
＜2a≤2 6
∴椭圆实轴长的取值范围是(2