证明：（1）由 y=f（x）=ax²+bx+c，y=g（x）=ax+b得

ax²+（b-a）x+（c-b）=0  （*）

△=（b-a）²-4a （c-b）

∵f（x）=ax²+bx+c，f（1）=0

∴f（1）=a+b+c=0 …（3分）

又a＞b＞c

∴3a＞a+b+c＞3c即a＞0，c＜0

∴b-a＜0，c-b＜0，a＞0

∴△=（b-a）²-4a（c-b）＞0

故函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点；…（5分）

（2）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），

则x₁、x₂是方程（*）的两根

故x₁+x₂=-

b-a

a

，

x₁x₂=

c-b

a

，

所以|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( b-a a )2-4 c-b a

=

(b-a)2-4a(c-b)

a

又a+b+c=0，故b=-（a+c）

因而（b-a）²-4a（c-b）=（-2a-c）²-4a（a+2c）=c²-4ac

故|A₁B₁|=

c2-4ac

a

=

( c a )2-4( c a )

=

( c a -2)2-4

…（8分）

∵a＞b＞c，a+b+c=0

∴a＞-（a+c）＞c

∴-2＜

c

a

＜-

1

2

∴|A₁B₁|的取值范围是（

3

2

，2

3

）…（10分）．

证明：（3）不妨设x₁＞x₂，则由（2）知：

3

2

＜x₁-x₂＜2

3

①

则x₁+x₂=-

c

a

=1-

b

a

由a＞b＞c得：

c

a

＜

b

a

＜1，

故0＜1-

b

a

＜1-

c

a

…（12分）

又-2＜

c

a

＜-

1

2

，

故

3

2

＜1-

c

a

＜3，

因而0＜1-

b

a

≤

3

2

即0＜x₁-x₂≤

3

2

②

由①、②得：-

3

＜x₂≤0，

即方程（*），也就是方程f（x）-g（x）=0的较小根的范围是（-

3

，0]．

又a＞0，故当x≤-

3

时，

f（x）-g（x）＞0恒成立，

即当x≤-

3

时，恒有f（x）＞g（x） …（14分）．