问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，已知F1（-4，0），直线l：x=-2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离的
（1）求曲线E的轨迹方程． （2）设点F2（4，0），若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1、F2到m的距离分别为d1，d2，试判断d1d2是否为常数，请说明理由． |
答案
（1）由题意，设点M（x，y），则有|MF1|=
，点M（x，y）到直线的距离d=|x-（-2）|=|x+2|，故(x+4)2+y2
=(x+4)2+y2
|x+2|，化简后得：x2-y2=8．2
故动点M的轨迹方程为x2-y2=8
（2）d1d2是常数，证明如下：
若切线m斜率不存在，则切线方程为x=±2
，此时d1d2=(c+a)(c-a)=b2=82
当切线m斜率存在时，设切线m：y=kx+b，代入x2-y2=8，整理得：x2-（kx+b）2=8，
∴（1-k2）x2-2bkx-（b2+8）=0
由△=（-2bk）2+4（1-k2）（b2+8）=0，化简得：b2=8k2-8
又由m：kx-y+b=0，∴d1=
， d2=|-4k+b| k2+1
，|4k+b| k2+1
∴d1d2=
=|16k2-b2| k2+1
=8=常数．|16k2-(8k2-8)| k2+1
综上，故对任意切线m，d1d2是常数