问题
解答题
设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的直线交椭圆M于P、Q两点，且满足OP⊥OQ，求直线PQ的方程．
答案
（Ⅰ） 设椭圆M的方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)y2 b2
则有a2-b2=1
=1 a 2 2
解得
，a= 2 b=1
∴椭圆M的方程为
+y2=1x2 2
（Ⅱ）当k不存在时，直线为x=2与椭圆无交点
当k存在时，设PQ：y=k（x-2）
代入
+y2=1整理得：（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0x2 2
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有x1+x2=
，x1x2=8k2 1+2k2 8k2-2 1+2k2
∴y1y2=2k2 1+2k2
∵OP⊥OQ，
∴y1y2+x1x2=0即
=010k2-2 1+2k2
解得：k=±5 5
所求直线PQ的方程为y=±
(x-2)5 5