问题
解答题
设函数f（x）=ax2+8x+3，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使得x∈[0，M（a）]，时，恒有|f（x）|≤5，
（1）求M（a）关于a的表达式； （2）求M（a）的最大值及相应的a的值．
答案
（1）由a＜0，f(x)=a(x+
)2+3-4 a 16 a
当3-
＞5，即-8＜a＜0时，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是ax2+8x+3=5的较小的根，即M（a）=16 a
；
-42a+16 a
当3-
≤5，即a≤-8时，要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，M（a）只能是ax2+8x+3=-5的较大的根，即M（a）=16 a
；-2
-44-2a a
所以M（a）=
(-8＜a＜0)
-42a+16 a
(a≤-8)-2
-44-2a a
（2）当-8＜a＜0时，M（a）=
=
-42a+16 a
＜2
+42a+16
；1 2
当a≤-8时，M（a）=
=-2
-44-2a a
≤4
-24-2a
=4
-220
；
+15 2
所以M（a）的最大值为M（-8）=
．
+15 2