问题
解答题
已知直线AB与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1y2=-p2． 求证：直线AB经过抛物线的焦点．
答案
证明：设直线AB的方程为：y=kx+b，
由
，得（kx+b）2=2px，y=kx+b y2=2px
整理，得k2x2+（2bk-2p）x+b2=0，
∵A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1•x2=
，b2 k2
∵y2=2px（p＞0），y1y2=-p2，
∴x1x2 =
•y12 2p
=y22 2p
=p4 4p2
，b2 k2
∴k=
，或k=-2b p
，2b p
∴y=
x+b（舍）或y=-2b p
x+b，2b p
当y=0时，x=
．p 2
故直线AB经过抛物线的焦点F（
，0）．p 2
