问题 解答题

已知二次函数f(x)=ax2+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1.

(Ⅰ)求f(x)的解析式;

(Ⅱ)求函数f(x)的零点,并写出f(x)<0时,x取值的集合;

(Ⅲ)设F(x)=4f(ax)+3a2x-1(a>0且a≠1),当x∈[-1,1]时,F(x)有最大值14,试求a的值.

答案

(Ⅰ)∵f(x)=ax2+bx满足f(x-1)=f(x)+x-1,∴a(x-1)2+b(x-1)=ax2+bx+x-1,即ax2-(2a-b)x+a-b=ax2+(b+1)x-1,∴

-(2a-b)=b+1
a-b=-1
,解得a=-
1
2
,b=
1
2
.∴f(x)=-
1
2
x2+
1
2
x
.…(5分)

( II)由f(x)=0得函数的零点为0,1.

又函数f(x)的图象是开口向下的抛物线,∴f(x)<0时x>1或x<0.

∴x取值的集合为{x|x>1或x<0}.…(9分)

( III)由F(x)=4f(ax)+3a2x-1(a>0且a≠1),得F(x)=a2x+2ax-1.

①当a>1时,令u=ax,∵x∈[-1,1],∴u∈[

1
a
,a],令g(u)=u2+2u-1=(u+1)2-2,u∈[
1
a
,a]
.∵对称轴u=-1,∴g(u)在[
1
a
,a]
上是增函数.∴gmax(u)=g(a)=a2+2a-1=14,∴a2+2a-15=0,∴a=3,a=-5(舍).

②当0<a<1时,令u=ax,∵x∈[-1,1]∴u∈[a,

1
a
]∴g(u)=u2+2u-1=(u+1)2-2,u∈[a,
1
a
]
,∵对称轴u=-1,∴g(u)在[a,
1
a
]
上是增函数.∴gmax(u)=g(
1
a
)=(
1
a
)2+
2
a
-1=14
,∴
1
a
=3,
1
a
=-5
(舍),∴a=
1
3

综上a=

1
3
或a=3.…(14分)

问答题

硫酸亚铁是比较重要的亚铁盐,在农业上用作农药,主治小麦黑穗病,在工业上用于染色、制造蓝黑墨水和木材防腐、除草剂等.

(1)实验室条件下用铁粉和稀硫酸制取少量硫酸亚铁溶液,为防止其变质,应在该溶液中应加入适量______.

(2)新制的绿矾晶体(FeSO4•7H2O)是浅绿色的,但在空气中极易变成黄色或铁锈色的碱式硫酸铁[Fe(OH)SO4],写出该反应的化学方程式:______.

(3)已知FeSO4在不同条件下分解得到的产物不同,可能是FeO和SO3,也可能是Fe2O3、SO3和SO2.某研究小组探究在酒精喷灯加热条件下FeSO4分解的气体产物.已知SO3的熔点是16.8°C,沸点是44.8°C.

①装置II的试管中不装任何试剂,其作用是______,试管浸泡在50℃的热水浴中,目的是______.

②装置III和装置IV的作用是探究本实验气体产物成分.请完成实验设计,填写检验试剂、预期现象与结论.

限选试剂:3mol.L-1.H2S04、6mol.L-l NaOH、0.5mol.L -1 BaCl2、O.5mol.L-1Ba(NO32、0.01mol.L-1 酸性 KMnO4 溶液、0.0l mol.L-1 溴水.

检验试剂预期现象与结论
装置III的试管中加入足量______.产生大量白色沉淀,证明气体产物中含有SO3
装置IV的试管中加入足量______.______

______.

③装置V的作用是防止尾气污染环境,烧杯中应加入的试剂是______.

④如何检验装置Ⅰ中固体完全分解后生成固体产物有无FeO?写出步骤、现象及结论:______.

单项选择题 A1型题