问题
解答题
| 记平面内与两定点A1（-2，0），A2（2，0）连线的斜率之积等于常数m（其中m＜0）的动点B的轨迹，加上A1，A2两点所构成的曲线为C （I）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的值的关系； （Ⅱ）当m=-
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答案
（I）设动点B（x，y）．
当x≠±2时，由条件可得kBA1•kBA2=
•Y X+2
=Y X-2
=mY2 X2-Y2
即mx2-y2=4m（x≠±2）．
又A1（-2，0）、A2（2，0）的坐标满足mx2-y2=4m．
当m＜-1时，曲线C的方程为
+x2 4
=1，曲线C是焦点在y轴上的椭圆；y2 -4m
当m=-1时，曲线C的方程为x2+y2=4，曲线C是圆心在原点上的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为
+x2 4
=1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆；y2 -4m
（Ⅱ）由（I）知，曲线C的方程为
+x2 4
=1．y2 3
依题意，直线l1的方程为y=k（x-1）．
代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
由韦达定理得：x1+x2=-
，x1x2=8k2 3+4k2 4k2-12 3+4k2
∴弦MN的中点为P（
，4k2 3+4k2
）-3k 3+4k2
∴|MN|=
•1+k2
=(x1+x2)2-4x1x2 12(k2+1) 3+4k2
直线l2的方程为y-
=--3k 3+4k2
(x-1 k
)4k2 3+4k2
由y=0，可得x=
，则Q（k2 3+4k2
，0），k2 3+4k2
∴|PQ|=3 k2(k2+1) 3+4k2
∴
=|PQ| |MN|
=3 k2(k2+1) 3+4k2 12(k2+1) 3+4k2 1 4 1- 1 k2+1
∵k2+1＞1，∴0＜
＜11 k2+1
∴0＜1 4
＜1- 1 k2+1 1 4
∴
的取值范围为（0，|
|PQ |
|MN
）．1 4