.F1(-

2

a ， 0)，F2(

2

a ， 0)．

设直线BC的方程为：x=my-

2

a，其中m=cotα．

代入双曲线的方程x²-y²=a²，并整理得； (m2-1)y2-2

2

may+a2=0．

设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则有； y1+y2=

2 2 ma

m2-1

，y1•y2=

a2

m2-1

.S△F2BC=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

2

a•|y1-y2|=

2

a•

[(y1+y2)2-4y1y2]

=

2

a•

[( 2 2 ma m2-1 )2-4• a2 m2-1 ]

=2a•

1+m2

1-m2

．

∵α∈(

π

4

 ， 

π

2

]，∴0≤m＜1．

当m=0时，S△F2BC取得最小值2

2

a2．

由条件知，2

2

a2=4

2

∵a＞0，∴a=

2

．