问题
解答题
已知函数f(x)=3x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知函数g(x)=f(x)+mx-2在(2,+∞)上单调增,求实数m的取值范围;
(3)若对于任意的x∈[-2,2],f(x)+n≤3都成立,求实数n的最大值.
答案
(1)∵f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞),
∴-2和0是方程3x2+bx+c=0的两个实根,
则
,解得b=6,c=0,c=0 12-2b+c=0
∴f(x)=3x2+6x,
(2)由(1)得,g(x)=f(x)+mx-2=3x2+(6+m)x-2,
则g(x)的对称轴是x=-
,6+m 6
∵g(x)在(2,+∞)上单调增,
∴-
≤2,解得m≥-18,6+m 6
(3)由(1)得,f(x)+n≤3,即n≤-3x2-6x+3=-3(x+1)2+6,
∵x∈[-2,2],即当x=2时,函数y=-3x2-6x+3取到最小值为-21,
∴n≤-21,实数n的最大值为-21.