已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，且|MN|=2，动

问题解答题

已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，且|MN|=2，动点p满足：2

（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
（I）求曲线C的方程，并讨论曲线C的类型；
（Ⅱ）过点（0，1）作直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若对于任意m＞1，都有∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

答案

（I）由2

，得P是MN的中点．

设P（x，y），M（x₁，mx₁），N（x₂，-mx₂）依题意得：

x1+x2 =2x

mx1-mx2=2y

(x1-x2)2+(mx1+mx2)2=4

消去x₁，x₂，整理得

=1．

当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；

当o＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；

当m=1时，方程表示圆．

（II）由m＞1，焦点在y轴上的椭圆，直线l与曲线c恒有两交点，

因为直线斜率不存在时不符合题意，

可设直线l的方程为y=kx+1，直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

y=kx+1

⇒（m⁴+k²）x²+2kx+1-m²=0

x1+x2 =-

m4+k2

，x1x2=-

1-m2

m4+k2

y1 y2=(kx1+1)(kx2+1)=

k2(1-m2)

m4+k2

2k2

m4+k2

要使∠AOB为锐角，则有

•

＞0

∴x₁x₂+y₁y₂=

m4-(k2+1)m2+1

m4+k2

＞0

即m⁴-（k²+1）m²+1＞0，

可得m2+

＞ K2 +1，对于任意m＞1恒成立．

而m2+

＞2，∴K²+1≤2，-1≤k≤1

所以满足条件的k的取值范围是[-1.1]．