已知椭圆x24+y2=1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M

问题解答题

已知椭圆

+y2=1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

答案

（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）

代入椭圆方程并化简得：5x²+16x+12=0，（2分）

解之得x1=-2，x2=-

，∴M(-

，

)．（4分）

（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），

则

y=k(x+2)

+y2=1

化简得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．（6分）

∵此方程有一根为-2，∴xM=

2-8k2

1+4k2

，（7分）

同理可得xN=

2k2-8

k2+4

．（8分）

由（1）知若存在定点，则此点必为P(-

，0)．（9分）

∵kMP=

xM+

2-8k2

1+4k2

+2)

2-8k2

1+4k2

4-4k2

，（11分）

同理可计算得kPN=

4-4k2

．（13分）

∴直线MN过x轴上的一定点P(-

，0)．（16分）