∵f（0）=0，∴可设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）．

∵f（x+1）-f（x）=x+1，∴a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，

化为（2a-1）x+a+b-1=0．

此式对于任意实数x恒成立，因此

2a-1=0 a+b-1=0

，解得a=b=

1

2

．

∴f(x)=

1

2

x2+

1

2

x．

∵f(x)=

1

2

(x+

1

2

)2-

1

8

．

∴函数f（x）在区间[-1，-

1

2

]上单调递减，在区间[-

1

2

，3]上单调递增．

∵f（-1）=0，f(-

1

2

)=-

1

8

，f（3）=6．

∴函数f（x）在区间[-1，3]上的最大、最小值分别为6，-

1

8

．