问题
解答题
已知椭圆Γ：
（Ⅰ）求Γ的离心率； （Ⅱ）若直线y=kx（k＜0）与Γ交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值． |
答案
（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有
|AF2|+|AB|+|BF2|=4a，①
|AF2|+|BF2|=2|AB|，②
|AF2|2+|AB|2=|BF2|2，③…（3分）
由①、②、③，解得|AF2|=a，|AB|=
a，|BF2|=4 3
a，5 3
所以点A为短轴端点，b=c=
a，2 2
Γ的离心率e=
=c a
．…（5分）2 2
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x2+2y2=a2．
不妨设C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），
则C、D坐标满足
，x2+2y2=a2 y=kx
由此得x1=-
，x2=a 1+2k2
．a 1+2k2
设C、D两点到直线AB：x-y+
a=0的距离分别为d1、d2，2 2
因C、D两点在直线AB的异侧，则
d1+d2=(x2-x1)-(y2-y1) 2
=(1-k)(x2-x1) 2
=
．…（8分）
(1-k)a2 1+2 k2
∴S=
|AB|（ d1+d2）1 2
=
•1 2
a•4 3
(1-k)a2 1+2k2
=
• 2
a22 3
．1-k 1+2 k2
设t=1-k，则t＞1，
=(1-k )2 1+2k2
=t2 2t2-4t+3
，1 2-
+ 4 t 3 t2
当
=1 t
，即k=-2 3
时，1 2
最大，进而S有最大值．…（12分）(1-k)2 1+2k2