问题
解答题
设F1、F2分别是椭圆
（1）求椭圆的方程； （2）若P是该椭圆上的一个动点，求
（3）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）易知直线y=x-1与x轴的交点是（1，0），所以c=1，且b=2c=2，
所以椭圆的方程是
+x2 5
=1…（4分）y2 4
（2）易知F1=（-1，0），F2（1，0）…（6分）
设P（x，y），则
•PF1
=(-1-x，-y)•(1-x，-y)=x2+y2-1PF2
=x2+4-
x2-1=4 5
x2+3…（8分）∵x∈[-1 5
，5
]，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，5
•PF1
有最小值3；PF2
当x=±
，即点P为椭圆长轴端点时，5
•PF1
有最大值4 …（10分）PF2
（3）假设存在这样的直线：y=kx+b 5k+b=0 k=-b 5
连接F2C，F2D，并作F2H垂直于CD，交直线y与H，△F2CD为等腰△
设C 点的坐标为（x1，y1）D 点的坐标为（x2，y2），F2H的斜率为：5 b
把y=kx+b和
+x2 5
=1联立，并消去y：y2 4
（20+b2）x2-10b2 x+25b2-100=0
根据二次方程定理：
=x1+x2 2 5b2 20+b2
同理
=y1+y2 2 20b 20+b2
∴直线的斜率
=20b 20+b2
-15b2 20+b2
．方程b无解5 b
故不存在直线，使得|F2C|=|F2D|