问题
解答题
已知抛物线x2=y，O为坐标原点．
（Ⅰ）过点O作两相互垂直的弦OM，ON，设M的横坐标为m，用n表示△OMN的面积，并求△OMN面积的最小值；
（Ⅱ）过抛物线上一点A（3，9）引圆x2+（y-2）2=1的两条切线AB，AC，分别交抛物线于点B，C，连接BC，求直线BC的斜率．
答案
（Ⅰ）设M（x1，x12），N（x2，x22）．
由OM⊥ON得x1x2+x12x22=0，∴x1x2=-1．
因为x1=m，所以x2=-
．1 m
所以|OM|=
，|ON|=m2+m4
．m2+1 m4
所以n=S△OMN=
|OM||ON|=1 2
×1 2
×m2+m4
=m2+1 m4 1 2
=1．2+m2+ 1 m2
所以，当m=1时，△OMN面积取得最小值1．
（Ⅱ）设B（x3，x32），C（x4，x42），直线AB的方程为y-9=k1（x-3），AC的方程为y-9=k2（x-3），
因为直线AB，AC与圆x2+（y-2）2=1相切，
所以
=|3k1-7| 1+k12
=1．|3k2-7| 1+k22
所以4k12-21k1+24=0，4k22-21k2+24=0．
所以k1，k2 是方程4k2-21k+24=0的两根．
所以k1+k2=
．21 4
由方程组
得x2-k1x-9+3k1=0．y=x2 y-9=k1(x-3)
所以x3+3=k1，同理可得：x4+3=k2．
所以直线BC的斜率为
=x4+x3=k1+k2-6=-x42-x32 x4-x3
．3 4