已知双曲线x2-12y2=1，过B（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q

问题解答题

已知双曲线x2-

y2=1，过B（1，1）能否作直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

答案

设过点B（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1

（1）当k存在时有

y=k(x-1)+1

x2 -

得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，

∴k＜

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

又B（1，1）为线段AB的中点

∴

x1+x2

=1 即

k-k2

2-k2

∴k=2

当k=2，使2-k²≠0但使△＜0

因此当k=2时，方程（1）无实数解

故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．

（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，

综上，符合条件的直线l不存在