问题
解答题
已知函数f（x）=ax2+4x+b（a＜0），设关于x的方程f（x）=0的两实数根为x1，x2，f（x）=x的两实根为α，β，且|α-β|=1．
（1）若a，b均为负整数，求f（x）解析式；
（2）若α＜1＜β，求（x1+a）（x2+a）的取值范围．
答案
（1）∵f（x）=x，
∴ax2+4x+b=x，由题意知，α+β=- 3 a αβ= b a |α-β|=1
∴a2+4ab-9=0；
∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x2+4x-2
（2）令g（x）=ax2+3x+b，
由于关于x的方程f（x）=0的两实数根为x1，x2，则x1+x2=- 4 a x1x2= b a
所以（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2=
+a2-4 b a
=
+a2-4=9-a2 4a2
+a2-9 4a2 17 4
由α＜1＜β，且|α-β|=1得，0＜α＜1＜β＜2，
所以g(0)＜0 g(1)＞0 g(2)＜0 a＜0 4ab=9-a2
解得-3＜a＜-1，即1＜a2＜9，
由函数y（t）=
+t在（0，9 4t
）上单调递减，在(3 2
，+∞)单调递增，3 2
而t=a2∈（1，9），则y（t）∈[3，
），故所求取值范围为[-37 4
，5）5 4