问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（-x+5）=f（x-3），且方程f（x）=x有两个相等的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[3m，3n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．
答案
（1）∵f（-x+5）=f（x-3），∴f（x）的对称轴为x=1，
即-
=1即b=-2a．b 2a
∵f（x）=x有两相等实根，∴ax2+bx=x，
即ax2+（b-1）x=0有两相等实根0，
∴-
=0，b-1 a
∴b=1，a=-
，1 2
∴f（x）=-
x2+x．1 2
（2）f（x）=-
x2+x=-1 2
（x-1）2+1 2
≤1 2
，1 2
故3n≤
，故m＜n≤1 2
，1 6
又函数的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有f（m）=3m，f（n）=3n，
解得m=0或m=-4，n=0或n=-4，又m＜n，故m=-4，n=0．