设双曲线C1的渐近线为y=±3x，焦点在x轴上且实轴长为1．若曲线C2

问题解答题

设双曲线C₁的渐近线为y=±

x，焦点在x轴上且实轴长为1．若曲线C₂上的点到双曲线C₁的两个焦点的距离之和等于2

，并且曲线C₃：x²=2py（p＞0是常数）的焦点F在曲线C₂上．
（1）求满足条件的曲线C₂和曲线C₃的方程；
（2）过点F的直线l交曲线C₃于点A、B（A在y轴左侧），若

，求直线l的倾斜角．

答案

（1）双曲线C₁满足：

2a1=1

…（1分），解得

a1=

b1=

…（2分）

则c1=

=1，于是曲线C₁的焦点F₁（-1，0）、F₂（1，0）…（3分），

曲线C₂是以F₁、F₂为焦点的椭圆，设其方程为

=1(a2＞b2＞0)…（4分），

解

2a2=2

得

a2=

b2=1

，即C₂：

+y2=1…（5分），

依题意，曲线C3：x2=2py(p＞0)的焦点为F（0，1）…（6分），

于是

=1，所以p=2，曲线C3：x2=4y…（7分）

（2）由条件可设直线l的方程为y=kx+1（k＞0）…（8分），

由

x2=4y

y=kx+1

得x²-4kx-4=0，△=16（k²+1）＞0，

由求根公式得：x1=2k-2

k2+1

，x2=2k+2

k2+1

…（9分），

由

得-3x₁=x₂…（10分），于是-3(2k-2

k2+1

)=2k+2

k2+1

，解得k2=

…（11分），

由图知k＞0，∴k=

，

∴直线l的倾斜角为

…（12分）