问题
解答题
| 动圆D过定点A（0，2），圆心D在抛物线x2=4y上运动，MN为圆D在x轴上截得的弦． （1）当圆心D在原点时，过抛物线的焦点F作直线l交圆D于B、C两点，求△ABC的最大面积； （2）当圆心D运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求
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答案
（1）设直线BC为y=kx+1，代入x2+y2=4得，（1+k2）x2+2kx-3=0，
S=
|FA||x1-x2|1 2
=|x1-x2| 2
=(x1+x2)2-4x1x2 2
=4k2+3 (1+k2)2
=
≤4-(
-2)21 1+k2
．3
当且仅当k=0时，△ABC的最大面积为
．3
（2）设圆心(a，
)，则圆为(x-a)2+(y-a2 4
)2=a2+(2-a2 4
)2．a2 4
当y=0时，x=a±2，
∴|MN|=4，
令∠MAN=θ，
由余弦定理，得16=m2+n2-2mncosθ，
又由S△AMN=
mnsinθ-1 2
|MN|yA1 2
=
×4×2=4，1 2
∴
=2sinθ，16 mn
∴
+m n
=2(sinθ +cosθ+n m
=2
sin(θ+2
)≤2π 4
，2
当θ=
时取得最大值．π 4