问题
解答题
已知函数g(x)=ax2-2ax+b+1(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=
(1)求a、b的值; (2)若不等式f(2x)-k•2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围. |
答案
(1)函数g(x)=ax2-2ax+b+1=a(x-1)2+1+b-a,
因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故
,解得g(2)=1 g(3)=4
. ….(6分)a=1 b=0
(2)由已知可得f(x)=x+
-2,所以,不等式f(2x)-k•2x≥0可化为 2x+1 x
-2≥k•2x,1 2x
可化为 1+(
)2-2•1 2x
≥k,令t=1 2x
,则 k≤t2-2t+1.1 2x
因 x∈[-1,1],故 t∈[
,2].故k≤t2-2t+1在t∈[1 2
,2]上能成立.1 2
记h(t)=t2-2t+1,因为 t∈[
,2],故 h(t)max =h(2)=1,1 2
所以k的取值范围是(-∞,1]. …(14分)