问题 解答题
已知函数g(x)=ax2-2ax+b+1(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=
g(x)
x

(1)求a、b的值;
(2)若不等式f(2x)-k•2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.
答案

(1)函数g(x)=ax2-2ax+b+1=a(x-1)2+1+b-a,

因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故

g(2)=1
g(3)=4
,解得
a=1
b=0
. ….(6分)

(2)由已知可得f(x)=x+

1
x
-2,所以,不等式f(2x)-k•2x≥0可化为 2x+
1
2x
-2≥k•2x

可化为 1+(

1
2x
)2-2•
1
2x
≥k,令t=
1
2x
,则 k≤t2-2t+1.

因 x∈[-1,1],故 t∈[

1
2
,2].故k≤t2-2t+1在t∈[
1
2
,2]上能成立.

记h(t)=t2-2t+1,因为 t∈[

1
2
,2],故 h(t)max =h(2)=1,

所以k的取值范围是(-∞,1]. …(14分)

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