解（1）联立方程组

3x2-y2=1 y=ax+1

，得(3-a2)x2-2ax-2=0．  …（2分）

∵直线l与曲线C有两个交点A、B，

∴

3-a2≠0 △=4a2-4(3-a2)(-2)＞0

，即

a2≠3 a2＜6

．            …（4分）

∴实数a的取值范围是-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

．      …（5分）

（2）设点A、B的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．            …（6分）

由（1）可知，

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2

．

∵以线段AB为直径的圆经过原点，

∴

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．                         …（8分）

又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，

∴x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，

即(a2+1)•

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0，解得a=±1（都满足（1）求出的条件）    …（11分）

∴a=±1时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．    …（12分）