问题
解答题
已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．
答案
（1）由
得5x2+2mx+m2-1=0，4x2+y2=1 y=x+m
当直线与椭圆有公共点时，△=4m2-4×5（m2-1）≥0，即-4m2+5≥0，
解得-
≤m≤5 2
，5 2
所以实数m的取值范围是-
≤m≤5 2
；5 2
（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，x1+x2=-
，x1x2=2m 5
，m2-1 5
所以弦长|AB|=
|x1-x2|=2
•2
=(x1+x2)2-4x1x2
•2
=(-
)2-2m 5 4(m2-1) 5
，2
•2 5-4m2 5
当m=0时|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．