（I）因为f(x)=x(

1

3

ax2+

1

2

bx+c)，又x1+x2+x3=

9

2

，x2x3=6，则x1=0，x2+x3=

9

2

，x2x3=6．

因为x₂，x₃是方程

1

3

ax2+

1

2

bx+c=0的两根，则-

3b

2a

=

9

2

，

3c

a

=6．即b=-3a，c=2a．

又f(1)=

5

6

，即

1

3

a+

1

2

b+c=

5

6

，所以，

1

3

a-

3

2

a+2a=

5

6

，即a=1，从而b=-3，c=2．

所以，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x．  因为f'（x）=x²-3x+2，由x²-3x+2＜0，得1＜x＜2．

故f（x）的单调递减区间是（1，2），单调递增区间是（-∞，1），（2+∞）．

（Ⅱ）因为f'（x）=ax²+bx+c，f′(1)=-

1

2

a，所以a+b+c=-

1

2

a，即3a+2b+2c=0．

因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．

于是f′(1)=-

a

2

＜0，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．

（1）当c＞0时，因为f′(0)=c＞0，f′(1)=-

a

2

＜0，则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．

（2）当c≤0时，因为f′(1)=-

a

2

＜0，f′(2)=a-c＞0，则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．

故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

（Ⅲ）设m，n是导函数f'（x）=ax²+bx+c的两个零点，则m+n=-

b

a

，mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

．

所以|m-n|=

(m+n)2-4mn

=

(- b a )2-4(- 3 2 - b a )

=

( b a +2)2+2

．

由已知，

( b a +2)2+2

≥

3

，则(

b

a

+2)2+2≥3，即(

b

a

+2)2≥1．

所以

b

a

+2≥1或

b

a

+2≤-1，即

b

a

≥-1或

b

a

≤-3．

又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以，3a＞-3a-2b＞2b，即 -3a＜b＜-

3

4

a．

因为a＞0，所以-3＜

b

a

＜-

3

4

．

综上分析，

b

a

的取值范围是[-1，-

3

4

)．