问题
解答题
过点（0，4），斜率为-1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4
（1）求p的值； （2）求证：OA⊥OB（O为原点）． |
答案
（1）直线方程为y=-x+4，联立方程
消去y得，x2-2（p+4）x+16=0．y=-x+4 y2=2px
设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2-64＞0．
所以|AB|=
|x1-x2|=1+1
•2
=44(P+4)2-4×16
，所以p=2．10
（2）证明：由（1）知，x1+x2=2（p+4）=12，x1x2=16，
∴y1y2=（-x1+4）（-x2+4）=-8p=-16
∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥OB．