问题
解答题
设抛物线y2=2px(p＞0)被直线y=2x-4截得的弦AB长为3
（1）求此抛物线的方程； （2）设直线AB上有一点Q，使得A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，求Q点坐标； （3）在抛物线上求一点M，使M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小． |
答案
（1）联立方程组，得
，整理得：2x2-（8+p）x+8=0y2=2px y=2x-4
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
，x1x2=4，8+p 2
∴弦长AB=
=3(1+4)[(
)2-4×4]8+p 2
，5
解得p=2或-18（舍），
所以此抛物线的方程：y2=4x．
（2）设Q（x，y），
∵A，Q，B三点到抛物线准线的距离成等差数列，
∴x=
=x1+y1 2
=8+2 2 2
，5 2
∴y=2×
-4=1，5 2
∴Q(
，1)．5 2
（3）∵M到Q点距离与M到焦点的距离之和最小值是Q到准线的距离，
∴M点的纵坐标是y=1，
把y=1代入y2=4x，得x=
，1 4
∴M(
，1)．1 4
