问题
解答题
| 已知幂函数f（x）=x（2-k）（1+k），k∈Z，且f（x）在（0，+∞）上单调递增． （1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式； （2）若F（x）=2f（x）-4x+3在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围； （3）试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，
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答案
（1）由题意知（2-k）（1+k）＞0，
解得：-1＜k＜2．…（2分）
又k∈Z
∴k=0或k=1，…（3分）
分别代入原函数，得f（x）=x2．…（4分）
（2）由已知得F（x）=2x2-4x+3．…（5分）
要使函数不单调，则2a＜1＜a+1，则0＜a＜
．…（8分）1 2
（3）由已知，g（x）=-qx2+（2q-1）x+1．…（9分）
假设存在这样的正数q符合题意，
则函数g（x）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为x=
=1-2q-1 2q
＜1，1 2q
因而，函数g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得，
又g（2）=-1≠-4，
从而必有g（-1）=2-3q=-4，解得q=2．
此时，g（x）=-2x2+3x+1，其对称轴x=
∈[-1，2]，3 4
∴g（x）在[-1，2]上的最大值为g(
)=-2×(3 4
)2+3×3 4
+1=3 4
，符合题意．17 8
∴存在q=2，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上的值域为[-4，
]．…（14分）17 8