（1）k_AB=y′|_x=p0=

1

2

p₀，

直线AB的方程为y-

1

4

p₀²=

1

2

p₀（x-p₀），即y=

1

2

p₀x-

1

4

p₀²，

∴q=

1

2

p₀p-

1

4

p₀²，方程x²-px+q=0的判别式△=p²-4q=（p-p₀）²，

两根x_1，2=

p±|p0-p|

2

=

p0

2

或p-

p0

2

，

而|p-

p0

2

|=||p|-|

p0

2

||，又0≤|p|≤|p₀|，

∴-|

p0

2

|≤|p| -|

p0

2

|≤|

p0

2

|，得|p-

p0

2

|=||p|-|

p0

2

||≤|

p0

2

|，

∴φ（p，q）=

|p0|

2

；

（2）由a²-4b＞0知点M（a，b）在抛物线L的下方，

①当a＞0，b≥0时，作图可知，若M（a，b）∈X，则p₁＞p₂≥0，

得|p₁|＞|p₂|；显然有点M（a，b）∈X；∴M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|．

②当a＞0，b＜0时，点M（a，b）在第二象限，作图可知，若M（a，b）∈X，则p₁＞0＞p₂，

且|p₁|＞|p₂|；

显然有点M（a，b）∈X，

∴显然有点M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|．

根据曲线的对称性可知，当a＜0时，M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|．

综上所述，M（a，b）∈X⇔|P₁|＜|P₂|．   （*）

由（1）知点M在直线EF上，方程x²-ax+b=0的两根x_1，2=

p0

2

或a-

p0

2

，

同理知点M在直线E′F′上，方程x²-ax+b=0的两根x_1，2=

p0

2

或a-

p0

2

，

若φ（a，b）=

|p1|

2

，则

|p1|

2

不比|a-

p1

2

|、

|p2|

2

、|a-

p2

2

|小，

∴|p₁|＞|p₂|；又|p₁|＞|p₂|⇒M（a，b）∈X；

∴φ（p，q）=

|p1|

2

⇒M（a，b）∈X；

又由（1）知，M（a，b）∈X⇒φ（p，q）=

|p1|

2

；

∴M（a，b）∈X⇔φ（p，q）=

|p1|

2

，综合（*）式，得证．

（3）联立y=x-1，y=

1

4

（x+1）²-

5

4

得交点（0，-1），（2，1），可知0≤p≤2，

过点（p，q）抛物线L的切线，设切点为（x₀，

1

4

x₀²），则

1 4 x02-q

x0-q

=

1

2

x0，

得x₀²-2px₀+4q=0，解得x₀=p+

p2-4q

，

又q≥

1

4

（p+1）²-

5

4

，即p²-4q≤4-2p，

x₀≤p+

4 -2p

，设

4 -2p

=t，x₀≤-

1

2

t2+t+2=-

1

2

(t-1)2+

5

2

≤

5

2

，

∴φ_max=

5

4

；

而x₀≥p+

p2-4p+4

=p+|p-2|=2，

∴φ_min=

|x0|

2

=1．