（1）∵x≤f(x)≤

1

2

(1+x2)在R上恒成立，

∴1≤f(1)≤

1

2

(1+12)=1，即f（1）=1

∵f（x-4）=f（2-x），∴函数图象关于直线x=-1对称，

∴-

b

2a

=-1，b=2a．

∵f（1）=1，∴a+b+c=1

又∵f（x）在R上的最小值为0，

∴f（-1）=0，即a-b+c=0，

由

b=2a a+b+c=1 a-b+c=0

，解得

a=c= 1 4 b= 1 2

，

∴f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

；

（2）由（1）得，g(x)=f(x)-k2x=

1

4

[x2-2(2k2-1)x+1]，

∴g（x）对称轴方程为x=2k²-1，

∵g（x）在[-1，1]上是单调函数，

∴2k²-1≤-1或2k²-1≥1，

解得k≥1或k≤-1或k=0，

∴k的取值范围是k≥1或k≤-1或k=0．

（3）假设存在存在t∈R满足条件，

由（1）知f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

=

1

4

(x+1)2，

∴f（x+t）≤x⇔（x+t+1）²≤4x且x∈[1，m]，

⇔

t≥-x-2 x -1 t≤-x+2 x -1

在[1，m]上恒成立⇔

t≥(-x-2 x -1)max t≤(-x+2 x -1)min

∵y =-x-2

x

-1在[1，m]上递减，

∴(-x-2

x

-1)max=-4，

∵y =-x+2

x

-1在[1，m]上递减，

∴(-x+2

x

-1)min=-m+2

m

-1=-(

m

-1)2

∴-4≤t≤-(

m

-1)2，∴-(

m

-1)2≥-4，(

m

-1)2≤4，

∵m＞1，∴

m

-1≤2，

∴m≤9，∴m的最大值为9．