（1）当过点P的直线不存在斜率时，直线方程为x=

1

2

，此时仅一个交点（

1

2

，0）；

（2）当直线存在斜率时，设直线方程为：y=k（x-

1

2

），

由

y=k(x- 1 2 ) 4x2-y2=1

得(4-k2)x2+k2x-

1

4

k2-1=0①，

当4-k²=0，即k=±2时，解方程①得x=

1

2

，方程组的解为

x= 1 2 y=0

，此时直线与双曲线只有一个交点（

1

2

，0），直线方程为y=2（x-

1

2

），y=-2（x-

1

2

）；

当4-k²≠0即k≠±2时，令△=0，此方程无解，即方程组无解，此时直线与双曲线无交点；

综上所述，经过点p（

1

2

，0）且与双曲线4x²-y²=1仅交于一点的直线有3条，

故选C．