双曲线C：x2a2-y2b2=1上一点(2，3)到左，右两焦点距离的差为2．（1

问题解答题

双曲线C：

=1上一点(2，

)到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F₁，F₂是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若|PF₁|+|PF₂|=6，求△PF₁F₂的面积；
（3）过（-2，0）作直线l交双曲线C于A，B两点，若

，是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

答案

（1）∵双曲线C：

=1上一点(2，

)到左，右两焦点距离的差为2．

∴a=1，双曲线方程为x2-

=1，

把点(2，

)2，

）代入，得b=1．

∴双曲线方程为：x²-y²=1．

（2）设P在第一象限，则

|PF1| -|PF2|=2

|PF1| +|PF2|=6

，

解得|PF₁|=4，|PF₂|=2，

∴cos∠F1PF2=

，

∴sin∠F1PF=

，

∴△PF₁F₂的面积S=

．

（3）若直线斜率存在，设为y=k（x+2），代入x²-y²=1，

得（1-（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0（k≠±1），

若平行四边形OAPB为矩形，则OA⊥OB，

∴x₁x₂+y₁y₂=0，

∴

k2+1

k2-1

=0无解．

若直线垂直x轴，则A（-2，

），B（-2，

）不满足．

故不存在直线l，使OAPB为矩形．